×
БЕСПЛАТНАЯ КОНСУЛЬТАЦИЯ ЮРИСТА
Главная - Другое - Правила логики поглощения

Правила логики поглощения

Правила логики поглощения

Формулы и законы логики


На вводном уроке, посвящённом , мы познакомились с базовыми понятиями этого раздела математики, и сейчас тема получает закономерное продолжение. Помимо нового теоретического, а точнее даже не теоретического – а общеобразовательного материала нас ожидают практические задания, и поэтому если вы зашли на данную страницу с поисковика и/или плохо ориентируетесь в материале, то, пожалуйста, пройдите по вышеуказанной ссылке и начните с предыдущей статьи. Кроме того, для практики нам потребуется 5 таблиц истинности , которые я настоятельно рекомендую переписать от руки.

НЕ запомнить, НЕ распечатать, а именно ещё раз осмыслить и собственноручно переписать на бумагу – чтобы они были перед глазами: – таблица НЕ; – таблица И; – таблица ИЛИ; – импликационная таблица; – таблица эквиваленции.

Это очень важно. В принципе, их было бы удобно занумеровать «Таблица 1», «Таблица 2» и т.д., но я неоднократно подчёркивал изъян такого подхода – как говорится, в одном источнике таблица окажется первой, а в другом – сто первой.

Поэтому будем использовать «натуральные» названия. Продолжаем: На самом деле с понятием логической формулы вы уже знакомы. Приведу стандартное, но довольно-таки остроумное определение: формулами алгебры высказываний называются: 1) любые элементарные (простые) высказывания

; 2) если

и

– формулы, то формулами также являются выражения вида

.

Никаких других формул нет. В частности формулой является любая логическая операция, например логическое умножение

. Обратите внимание на второй пункт – он позволяет рекурсивным образом «создать» сколь угодно длинную формулу. Поскольку

– формулы, то

– тоже формула; так как

и

– формулы, то

– тоже формула и т.д.

Любое элементарное высказывание (опять же согласно определению) может входить в формулу неоднократно. Формулой не является, например, запись

– и здесь прослеживается очевидная аналогия с «алгебраическим мусором»

, из которого не понятно – нужно ли числа складывать или умножать. Логическую формулу можно рассматривать, как логическую функцию.

Запишем в функциональном виде ту же конъюнкцию:

Элементарные высказывания

и

в этом случае играют роль аргументов (независимых переменных), которые в классической логике могут принимать 2 значения: истина или ложь. Далее для удобства я буду иногда называть простые высказывания переменными. Таблица, описывающая логическую формулу (функцию) называется, как уже было озвучено, таблицей истинности.

Пожалуйста – знакомая картинка:

Принцип формирования таблицы истинности таков: «на входе» нужно перечислить все возможные комбинации истины и лжи, которые могут принимать элементарные высказывания (аргументы).

В данном случае в формулу входят два высказывания, и нетрудно выяснить, что таких комбинаций четыре. «На выходе» же получаем соответствующие логические значения всей формулы (функции).

Надо сказать, что «выход» здесь получился «в один шаг», но в общем случае логическая формула является более сложной. И в таких «непростых случаях» нужно соблюдать порядок выполнения логических операций: – в первую очередь выполняется отрицание

; – во вторую очередь – конъюнкция

; – затем – дизъюнкция

; – потом импликация

; – и, наконец, низший приоритет имеет эквиваленция

. Так, например, запись

подразумевает, что сначала нужно осуществить логическое умножение

, а затем – логическое сложение:

.

Прямо как в «обычной» алгебре – «сначала умножаем, а затем складываем». Порядок действий можно изменить привычным способом – скобками:

– здесь в первую очередь выполняется дизъюнкция

и только потом более «сильная» операция. Наверное, все понимают, но на всякий пожарный:

и

– это две разные формулы!

(как в формальном, так и в содержательном плане) Составим таблицу истинности для формулы

. В данную формулу входят два элементарных высказывания и «на входе» нам нужно перечислить все возможные комбинации единиц и нулей.

Чтобы избежать путаницы и разночтений договоримся перечислять комбинации строго в таком порядке (который я, собственно, де-факто использую с самого начала):

В формулу

входят две логические операции, и согласно их приоритету, в первую очередь нужно выполнить отрицание высказывания

.

Ну что же, отрицаем столбец «пэ» – единицы превращаем в нули, а нули – в единицы:

На втором шаге смотрим на столбцы

и

и применяем к ним операцию ИЛИ.

Немного забегая вперёд, скажу, что дизъюнкция перестановочна (

и

– это одно и то же), и поэтому столбцы

можно анализировать в привычном порядке – слева направо.

При выполнении логического сложения удобно использовать следующее прикладное рассуждение: «Если два нуля – ставим ноль, если хотя бы одна единица – единицу»:

Таблица истинности построена. А теперь вспомним старую-добрую импликацию:

…внимательно-внимательно… смотрим на итоговые колонки….

В алгебре высказываний такие формулы называются равносильными или тождественными:

(три горизонтальные чёрточки – это значок тождества) В 1-й части урока я обещал выразить импликацию через базовые логические операции, и выполнение обещания не заставило себя ждать! Желающие могут вложить в импликацию содержательный смысл (например, «Если идёт дождь, то на улице сыро») и самостоятельно проанализировать равносильное утверждение

.

Сформулируем общее определение: две формулы называются равносильными (тождественными), если они принимают одинаковые значения при любом наборе значений, входящих в эти формулы переменных (элементарных высказываний). Также говорят, что

«формулы равносильны, если совпадают их таблицы истинности»

, но мне не очень нравится эта фраза.

Задание 1 Составить таблицу истинности для формулы

и убедиться в справедливости знакомого вам тождества

.

Ещё раз повторим порядок решения задачи: 1) Так как в формулу входят две переменные, то всего будет 4 возможных набора нулей и единиц. Записываем их в оговорённом выше порядке.

2) Импликации «слабее» конъюнкции, но они располагаются в скобках. Заполняем столбец

, при этом удобно использовать следующее прикладное рассуждение: «если из единицы следует ноль, то ставим ноль, во всех других случаях – единицу».

Далее заполняем столбец для импликации

, и при этом, внимание!

– столбцы

и

следует анализировать «справа налево»! 3) И на завершающем этапе заполняем итоговый столбец

.

А здесь удобно рассуждать так: «если в столбцах

и

две единицы, то ставим единицу, во всех остальных случаях – ноль». И, наконец, сверяемся с таблицей истинности

. С двумя из них мы только что познакомились, но ими дело, понятно, не огранивается.

Тождеств довольно много и я перечислю самые важные и самые известные из них: Коммутативность – это перестановочность:

Знакомые с 1-го класса правила: «От перестановки множителей (слагаемых) произведение (сумма) не меняется». Но при всей кажущейся элементарности этого свойства, справедливо оно далеко не всегда, в частности, некоммутативным является (в общем случае их переставлять нельзя), а – антикоммутативно (перестановка векторов влечёт за собой смену знака). И, кроме того, здесь я снова хочу подчеркнуть формализм математической логики.

Так, например, фразы «Студент сдал экзамен и выпил» и «Студент выпил и сдал экзамен» различны с содержательной точки зрения, но неразличимы с позиций формальной истинности.

…Таких студентов знает каждый из нас, и из этических соображений мы не будет озвучивать конкретных имён =) Или, если «по-школьному» – сочетательное свойство:

Обратите внимание, что во 2-м случае будет некорректно говорить о «раскрытии скобок», в известном смысле здесь «фикция» – ведь их можно убрать вообще:

, т.к. умножение – это более сильная операция.

И опять же – эти, казалось бы, «банальные» свойства выполняются далеко не во всех алгебраических системах, и, более того, требуют доказательства (о которых мы очень скоро поговорим).

К слову, второй дистрибутивный закон несправедлив даже в нашей «обычной» алгебре.

И в самом деле:

Что делать, латынь.

Прямо какой-то принцип здоровой психики: «я и я – это я», «я или я – это тоже я» =) И тут же несколько похожих тождеств:

…мда, что-то я даже подзавис… так и доктором философии завтра можно проснуться =) Ну а здесь уже напрашивается пример с русским языком – все прекрасно знают, что две частицы «не» означают «да».

А для того, чтобы усилить эмоциональную окраску отрицания нередко используют три «не»:

– даже с крохотным доказательством получилось!

– «а был ли мальчик?» =) В правом тождестве скобки можно опустить.

Предположим, что строгий Преподаватель (имя которого вам тоже известно:)) ставит экзамен, если

– Студент ответил на 1-й вопрос и

– Студент ответил на 2-й вопрос. Тогда высказывание

, гласящее о том, что Студент не сдал экзамен, будет равносильно утверждению

– Студент не ответил на 1-й вопрос или на 2-й вопрос.

Как уже отмечалось выше, равносильности подлежат доказательству, которое стандартно осуществляется с помощью таблиц истинности. В действительности мы уже доказали равносильности, выражающие импликацию и эквиваленцию, и сейчас настало время закрепить технику решения данной задачи.

Докажем тождество

.

Поскольку в него входит единственное высказывание

, то «на входе» возможно всего лишь два варианта: единица либо ноль.

Далее приписываем единичный столбец и применяем к ним правило И:

В результате «на выходе» получена формула, истинность которой совпадает с истинностью высказывания

. Равносильность

доказана.

Да, это доказательство является примитивным (а кто-то скажет, что и «тупым»), но типичный Преподаватель по матлогике вытрясет за него душу. Поэтому даже к таким простым вещам не стОит относиться пренебрежительно.

Теперь убедимся, например, в справедливости закона де Моргана

. Сначала составим таблицу истинности для левой части.

Поскольку дизъюнкция находится в скобках, то в первую очередь выполняем именно её, после чего отрицаем столбец

:

Далее составим таблицу истинности для правой части

. Здесь тоже всё прозрачно – в первую очередь проводим более «сильные» отрицания, затем применяем к столбцам

правило И:

Результаты совпали, таким образом, тождество

доказано.

Любую равносильность

можно представить в виде тождественно истинной формулы

.

Это значит, что ПРИ ЛЮБОМ исходном наборе нулей и единиц «на выходе» получается строго единица.

И этому есть очень простое объяснение: так как таблицы истинности

и

совпадают, то, разумеется, они эквивалентны.Соединим, например, эквиваленцией левую и правую часть только что доказанного тождества де Моргана:

Или, если компактнее:

Задание 2 Доказать следующие равносильности: а)

; б)

Краткое решение в конце урока.

Не ленимся! Постарайтесь не просто составить таблицы истинности, но ещё и чётко сформулировать выводы. Как я недавно отмечал, пренебрежение простыми вещами может обойтись очень и очень дорого! Да, совершенно верно – мы с ними уже вовсю работаем: Формула, которая принимает значение Истина при любом наборе значений входящих в неё переменных, называется тождественно истинной формулой или законом логики.

Да, совершенно верно – мы с ними уже вовсю работаем: Формула, которая принимает значение Истина при любом наборе значений входящих в неё переменных, называется тождественно истинной формулой или законом логики. В силу обоснованного ранее перехода от равносильности

к тождественно истинной формуле

, все перечисленные выше тождества представляют собой законы логики.

Формула, которая принимает значение Ложь при любом наборе значений входящих в неё переменных, называется тождественно ложной формулой или противоречием. Фирменный пример противоречия от древних греков:

– никакое высказывание не может быть истинным и ложным одновременно.

Доказательство тривиально:

«На выходе» получены исключительно нули, следовательно, формула действительно тождественна ложна. Однако и любое противоречие – это тоже закон логики, в частности:

Нельзя объять столь обширную тему в одной-единственной статье, и поэтому я ограничусь ещё лишь несколькими законами:

– в классической логике любое высказывание истинно или ложно и третьего не дано. «Быть или не быть» – вот в чём вопрос.

Самостоятельно составьте табличку истинности и убедитесь в том, что это тождественно истинная формула.

Этот закон активно муссировался, когда мы обсуждали суть , вспоминаем:

«Если во время дождя на улице сыро, то из этого следует, что если на улице сухо, то дождя точно не было»

.

Также из данного закона следует, что если справедливой является прямая

, то обязательно истинным будет и утверждение

, которое иногда называют противоположной теоремой.

Если истинна обратная теорема

, то в силу закона контрапозиции

, справедлива и теорема, противоположная обратной:

И снова вернёмся к нашим содержательным примерам: для высказываний

– число делится на 4,

– число делится на 2 справедливы прямая и противоположная теоремы, но ложны обратная и противоположная обратной теоремы. Для «взрослой» же формулировки теоремы Пифагора истинны все 4 «направления». Тоже классика жанра:

«Все дубы – деревья, все деревья – растения, следовательно, все дубы – растения»

.

Ну и здесь опять хочется отметить формализм математической логики: если наш строгий Преподаватель думает, что некий Студент – есть дуб, то с формальной точки зрения данный Студент, безусловно, растение =) …хотя, если задуматься, то может быть и с неформальной тоже =) Давайте на этой веселой ноте проведём доказательство. В данную формулу входят уже

элементарных высказывания

, а значит, всего будет:

различных комбинаций нулей и единиц (см. три левых столбца таблицы). Заодно, кстати, записал вам общую формулу; с точки зрения , здесь .

Составим таблицу истинности для формулы

.

В соответствии с приоритетом логических операций, придерживаемся следующего алгоритма: 1) выполняем импликации

и

. Вообще говоря, можно сразу выполнить и 3-ю импликацию, но с ней удобнее (и допустимо!) разобраться чуть позже; 2) к столбцам

применяем правило И; 3) вот теперь выполняем

; 4) и на завершающем шаге применяем импликацию к столбцам

и

. Не стесняйтесь контролировать процесс указательным и средним пальцем :))

Из последнего столбца, думаю, всё понятно без комментариев:

, что и требовалось доказать.

Задание 3 Выяснить, будет ли являться законом логики следующая формула:

Краткое решение в конце урока. Да, и чуть не забыл – давайте условимся перечислять исходные наборы нулей и единиц в точно таком же порядке, что и при доказательстве закона силлогизма.

Строки конечно, можно и переставить, но это сильно затруднит сверку с моим решением. Помимо своего «логического» назначения, равносильности широко используются для преобразования и упрощения формул.

Грубо говоря, одну часть тождества можно менять на другую. Так, например, если в логической формуле вам встретился фрагмент

, то по закону идемпотентности вместо него можно (и нужно) записать просто

. Если вы видите

, то по закону поглощения упрощайте запись до

.

И так далее. Кроме того, есть ещё одна важная вещь: тождества справедливы не только для элементарных высказываний, но и для произвольных формул. Так, например:

, где

– любые (сколь угодно сложные) формулы.

Преобразуем, например, сложную импликацию

(1-е тождество):

Далее применим к скобке «сложный» закон де Моргана, при этом, в силу приоритета операций, именно закон

, где

:

Скобки можно убрать, т.к. внутри находится более «сильная» конъюнкция:

Далее напрашивается использовать «простой» закон де Моргана и т.д.

Ну, а с коммутативностью вообще всё просто – даже обозначать ничего не нужно… что-то запал мне в душу закон силлогизма:))

Таким образом, закон можно переписать и в более затейливом виде:

Проговорите вслух логическую цепочку «с дубом, деревом, растением», и вы поймёте, что от перестановки импликаций содержательный смысл закона нисколько не изменился. Разве что формулировка стала оригинальнее. В качестве тренировки упросим формулу

.

С чего начать? Прежде всего, разобраться с порядком действий: здесь отрицание применено к целой скобке, которая «скреплена» с высказыванием

«чуть более слабой» конъюнкцией.

По существу, перед нами логическое произведение двух множителей:

.

Из двух оставшихся операций низшим приоритетом обладает импликация, и поэтому вся формула имеет следующую структуру:

. Как правило, на первом шаге (шагах) избавляются от эквиваленции и импликации (если они есть) и сводят формулу к трём основным логическим операциям. Что тут скажешь…. Логично. (1) Используем тождество

.

А нашем случае

. Затем обычно следуют «разборки» со скобками.

Сначала всё решение, затем комментарии. Чтобы не получилось «масло масляное», буду использовать значки «обычного» равенства:

(2) К внешним скобкам применяем закон де Моргана

, где

.

(3) К внутренним скобкам применяем закон двойного отрицания

.

Внешние скобки можно убрать, т.к.

за её пределами находятся равные по силе операции.

(4) В силу коммутативности дизъюнкции меняем местами

и

.

Оставшиеся скобки тоже убираем по озвученной выше причине.

(5) В силу коммутативности дизъюнкции меняем местами

и

, а также

и

.

(6) Используем закон идемпотентности

и закон исключенного третьего

(7) Дважды используем тождество

Вот оно как…, оказалось, что наша формула – тожественно истинна:

Желающие могут составить таблицу истинности и убедиться в справедливости данного факта.

Наверное, все обратили внимание на формализм последних преобразований, но решать лучше именно так!

В противном случае с немалой вероятностью гарантированы проблемы с зачётом задания (впрочем, тут от преподавателя зависит).

Математическая логика как наука – формальна, и строго говоря, осуществлять «перескоки» наподобие

нежелательно. Пара задач для закрепления материала: Задание 4 Выразить эквиваленцию

через отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию и раскрыть скобки Аккуратно проводим преобразования в соответствии с равносильностями. После этого будет не лишним вернуться к параграфу об и найти там фразу, которая соответствует полученному результату 😉 Задание 5 Упростить логическую формулу

Решения с подробными комментариями совсем близко.

И в заключение урока небольшое напутствие для читателей, которым предстоит погружение в матлогику.

Данный предмет у меня был на 1-м курсе института, и в ходе изучения исчисления высказываний, предикатов и прочих «машин тьюринга» я допускал принципиальную ошибку – а именно, пытался «подогнать» под математическую логику неформальную основу.

И окончательное понимание всей стройности формальной теории, важности «очевидных» доказательств и т.д. пришло далеко не сразу. Скучно? Нет! – на самом деле очень красиво…. То же самое, кстати, относится к и некоторым другим предметам. …но что бы вы прочитали эти строки, я всё-таки преподнёс материал, скорее в «школьном» стиле – с многочисленными содержательными примерами!
…но что бы вы прочитали эти строки, я всё-таки преподнёс материал, скорее в «школьном» стиле – с многочисленными содержательными примерами!

Желаю успехов! Решения и ответы: Задание 1 Решение: составим таблицу истинности для формулы

: (подробные инструкции по заполнению таблицы находятся после условия задачи) Полученный результат совпадает с эквиваленцией высказываний

и

, таким образом: Задание 2 Решение: доказательства проведём с помощью таблиц истинности: а) Дважды записываем все варианты истины и лжи высказывания

и применяем к столбцам операцию ИЛИ: Результат

совпадает с

. Тождество

доказано б) составим таблицу истинности для левой части тождества

. Сначала к столбцам

и

применяем операцию ИЛИ, затем к столбцам

и

– операцию И: В результате истинность формулы

совпала с истинностью высказывания

, таким образом, тождество

доказано.

Задание 3 Решение: составим таблицу истинности: Вывод: данная формула не является тождественно истинной (законом логики) Задание 4 Решение: (1) Используем тождество

. (2) Дважды применяем тождество

. (3) Используем дистрибутивный закон

, в данном случае:

(квадратные скобки можно было не ставить – они не меняют порядок действий, но помогают лучше видеть ситуацию).

(4) В квадратных скобках используем коммутативность конъюнкции. (5) Дважды используем тот же самый дистрибутивный закон. (6) Во второй слева скобке используем коммутативность конъюнкции.

(7) Согласно закону противоречия:

. (8) К формуле

дважды применяем тожество

. (9) А это уже для красоты :)) Скобки, кстати, можно было убрать намного раньше (я их не опускал с целью улучшить восприятие преобразований).

Примечание: на 3-м шаге можно было раскрыть скобки по «правилу умножения многочленов» и сразу перейти к шагу № 7, но, строго говоря, это действие ещё нужно обосновать. А вдруг в алгебре логики это правило несправедливо? Задание 5 Решение: (1) Для левой скобки используем закон де Моргана.

Во второй скобке – «раскладываем» импликацию. (2) В первой скобке дважды применяем закон двойного отрицания.

В силу коммутативности конъюнкции меняем местам

и

. (3) К «иксу» и правой скобке применяем дистрибутивный закон.

(4) Согласно закону противоречия высказывания, средняя скобка тождественно ложна.
(5) К левой скобке применяем тождество

.

Убираем все скобки, поскольку это не меняет порядок действий.
(6) Используем коммутативность умножения и закон поглощения

. Ответ:

Автор: Емелин Александр

Законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре.

Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики. Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных. Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Закон Формулировка 1. Закон тождества Х = Х Всякое высказывание тождественно самому себе.

2. Закон исключенного третьего X \/ ¬X = 1 Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано.

Следовательно, результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина». 3. Закон непротиворечия X/\ ¬X = 0 Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание Х истинно, то его отрицание НЕ Х должно быть ложным.

Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно.

4. Закон двойного отрицания ¬¬X = X Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате получим исходное высказывание.

5. Переместительный (коммутативный) закон X /\ Y = Y /\ X X /\ Y = YX /\ Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания. 6. Сочетательный (ассоциативный) закон (X \/Y) \/Z = X \/ (Y \/Z) (X/\Y)/\Z=X/\(Y/\Z) При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

5. Распределительный (дистрибутивный) закон (X /\ Y) \/ Z= (X /\ Z) \/ (Y /\ Z) (X /\ Y) \/ Z = (X \/ Z) /\ (Y \/ Z) Определяет правило выноса общего высказывания за скобку. 7. Закон общей инверсии Закон де Моргана ¬(X \/ Y) = ¬X /\ ¬Y ¬(X /\ Y) = ¬X \/ ¬Y Закон общей инверсии.

8. Закон равносильности (идемпотентности) A\/A= A; A/\ A = A. от латинских слов idem — тот же самый и potens —сильный 9. Законы исключения констант: A\/ 1 = 1, A\/ 0 = A; A/\1 = A, A/\0 = 0.

10. Закон поглощения: A\/ (A/\B) = A; A/\ (A\/B) = A. 11. Закон исключения (склеивания): (A/\B) \/ (¬A/\B) = B; (A\/B)/\(¬A \/B) = B. 12. Закон контрапозиции (правило перевертывания): (A<=>B) = (B<=>A).

13. А => В = ¬A \/ В; 14.

¬ (A=>B)=A/\B 14. А <=>В = (А /\ В) \/ (¬A /\ ¬B); 15. А <=>В = (¬A \/ В) /\ (А \/¬B).

Применим законы алгебры логики. Покажем на примере как можно упростить логическое выражение: 1) (A/\B) \/ (A/\¬B) = A /\ (B \/ B)= A /\ 1 = A 2) ¬ (X \/ Y) /\ (X /\ ¬Y) Законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с её инверсией и правило операций с константами. ¬ (X \/ Y) /\ (X /\ ¬Y) = ¬ X /\ ¬Y /\ (X /\ ¬Y) = ¬ X /\ X/\¬Y /\¬Y= 0 ¬Y /\¬Y 3) применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель, используется правило операций переменной с её инверсией 4) ¬ X /\ Y \/ ¬ (X \/ Y) \/ X = ¬ X /\ Y \/ ¬ X /\ ¬Y \/ X= ¬ X /\ (Y \/ ¬Y) \/ X= ¬ X \/ X= 1

  1. E-mail для связи:
  2. MIR-LOGIKI.RU

© Copyright © 2018, МИР ЛОГИКИ.

Копирование материалов сайта допускается только при указании гиперссылки на mir-logiki.ru.

Свойства операций над высказываниями

(см. §31 данного справочника), мы указали, что конъюнкция является логическим умножением, а дизъюнкция – логическим сложением. Ещё из курса арифметики, нам известно, что операции умножения и сложения для чисел обладают коммутативностью (переместительный закон), ассоциативностью (сочетательный закон) и дистрибутивностью (распределительный закон) (см.

). Эти же законы справедливы в алгебре высказываний. Дизъюнкция Коммутативность (переместительный закон) A ∨ B = B ∨ A Ассоциативность (сочетательный закон) (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C) Конъюнкция Коммутативность (переместительный закон) A ∧ B = B ∧ A Ассоциативность (сочетательный закон) (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C) Дизъюнкция и конъюнкция Дистрибутивность (распределительный закон) A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) Идемпотентность – свойство объекта или операции при многократном повторении давать тот же результат, что и при однократном.

В логике высказываний идемпотентность наблюдается при повторении объектов (высказываний) и при повторных операциях с логическими 0 и 1: A ∧ A = A, A ∧ 1 = A ∧ 1 ∧ 1 = . A, A ∧ 0 = A ∧ 0 ∧ 0 = . = 0A ∨ A = A, A ∨ 1 = A ∨ 1 ∨ 1 = .

1, A ∨ 0 = A ∨ 0 ∨ 0 = . = A При операциях с константами 0 и 1 происходят следующие поглощения: A ∧ 1 = A, A ∧ 0 = 0A ∨ 1 = 1, A ∨ 0 = A При повторе высказываний происходят следующие поглощения: A ∧ (A ∨ B) = A, A ∨ (A ∧ B) = A Доказательство этих двух формул – см. . Транзитивность импликации: ((A → B) ∧ (B → C)) → (A → C) Силлогизмы были впервые осмыслены и классифицированы Аристотелем.В данной формуле представлена «первая фигура» аристотелевского силлогизма, наиболее совершенная.

Например:Пусть A: Вася, B: студент, C: человекПолучаем рассуждение: «Вася – студент» и «Студент – человек». Значит, «Вася – человек». $$ \mathrm{ (A \rightarrow B) \rightarrow (\overline{B}\rightarrow\overline{A}) } $$ Например:Пусть A: Вася, B: студентПолучаем рассуждение: «Вася – студент»Значит, «Если некто – не студент, то он – не Вася». Эти законы нам уже встречались.

Приведём их здесь ещё раз для полного списка: Закон тождества $$\mathrm{A = A}$$ Закон отрицания отрицания $$\mathrm{\overline{\overline{A}} = A}$$ Закон противоречия $$\mathrm{A \wedge\overline{A} = 0}$$ Закон исключенного третьего $$\mathrm{A \vee\overline{A} = 1}$$ Законы де Моргана $$\mathrm{\overline{A\wedge B}=\overline{A}\vee\overline{B}}$$ $$\mathrm{\overline{A\vee B}=\overline{A}\wedge\overline{B}}$$ 1.

При отсутствии скобок логические операции выполняются в следующей последовательности:

  1. Импликация
  2. Дизъюнкция
  3. Конъюнкция
  4. Отрицание
  5. Эквиваленция

2.

Если без скобок последовательно записаны несколько одинаковых операций, то они выполняются последовательно слева направо. 3. Если необходимо изменить обычный порядок выполнения операций, часть формулы заключают в скобки. Пример 1. Докажите с помощью таблиц истинности законы поглощения A ∧ (A ∨ B) = A, A ∨ (A ∧ B) = A A B A ∨ B A ∧ (A ∨ B) 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 Крайний левый и крайний правый столбцы равны, значит A ∧ (A ∨ B) = A A B A ∧ B A ∨ (A ∧ B) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 Крайний левый и крайний правый столбцы равны, значит A ∨ (A ∧ B) = AЧто и требовалось доказать.

Пример 2. Докажите, что импликацию можно заменить дизъюнкцией: $$ \mathrm{ (A\rightarrow B) = (\overline{A}\vee B) } $$ A B \(\mathrm{\overline{A}}\) \(\mathrm{A\rightarrow B}\) \(\mathrm{\overline{A}\vee B}\) 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 Столбцы совпадают.

Значит, импликация и рассмотренная дизъюнкция эквивалентны.Что и требовалось доказать.

Пример 3. Докажите, что эквиваленцию можно заменить следующей комбинацией дизъюнкций и конъюнкции: $$ \mathrm{ (A\leftrightarrow B)=(\overline{A}\vee B)\wedge (A\vee\overline{B}) } $$ A B \(\mathrm{A\rightarrow B}\) \(\mathrm{\overline{A}}\) \(\mathrm{\overline{A}\vee B}\) \(\mathrm{\overline{B}}\) \(\mathrm{A\vee \overline{B}}\) \(\mathrm{(\overline{A}\vee B)}\)\(\wedge\)\(\mathrm{(A\vee\overline{B})}\) 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 Выделенные столбцы совпадают. Значит, соответствующие формулы эквивалентны.Что и требовалось доказать. Пример 4*. Запишите с помощью формул логики рассуждение:«Глупец мог бы это сделать.

Я не могу этого сделать. Значит, я не глупец».Является ли данная формула логическим законом? A – я, B – глупец, C – действие, о котором речь.